Progressão Aritmética

Progressão Aritmética 
Introdução. 
Uma progressão aritmética (PA) é uma seqüência de números onde cada termo (exceto o primeiro termo) é resultado da soma do termo anterior com uma constante, chamada razão. 
Exemplo: 
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1} razão. 
1 2 3 4 5 6 7 8 
Observe que cada termo dessa seqüência, exceto o primeiro termo, vai ser resultado da soma do anterior mais um. (o 2 é 1 + 1, 3 é 2 +1, 4 é 3 + 1, e assim, por diante). E essa constante que agente sempre soma, vai ser chamada de razão. Essa é a razão da nossa PA. 
-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2} razão. 
3 1 -1 -3 -5 -7 -9 -11 
Observe, idem. 
Tipos de PA. 
Uma progressão aritmética (PA) pode ser de três tipos: 
Crescente (Se os números da seqüência forem crescendo). 
Exemplo: (6, 8 10, 12, 14, 16, 18, 20). 
Decrescente: (Se os números da seqüência forem diminuindo). 
Exemplo: (5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2...). 
Constante: (Se os números da seqüência não houver mudança). 
Exemplo: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...). Nesse caso, a razão da PA vale zero. 
Termos de uma PA. 
Seja a PA: (1, 3, 5, 7, 9,...) chamamos de a1, a2, a3, an o primeiro, segundo, terceiro e enésimo termo. E assim, por diante. 
No exemplo acima, note que: a1=1, a2=3, a3=5, an=Pode ser qualquer número que o problema quiser. 
E a razão? 
Razão (r): valor somado a cada termo anterior para obter o termo posterior. No exemplo, a razão vale 2. 
Fórmula do Termo Geral. 
Seja a PA: (1, 3, 5, 7, 9,...). Note que a razão (r) vale 2. Note também que: 
a2= a1+r 
a3=a1+2r 
a4=a1+3r 
an=a1+n-1r. Fórmula do Termo Geral. 
Exemplo: Achar o número de termos da PA (1, 4, 7, 10,..., 109). 
Resolução: 
r = 4 – 1 = 3 
a1=1 
an=109 
N = ? 
Fórmula Geral = an=a1+n-1r, substituindo a fórmula, temos: 
109 = 1 + (n-1) 3 
109 = 1 + 3n – 3 
109 = -2 + 3n 
109 + 2 = 3n 
111 = 3n → n = 1113 → n = 37. Portanto, nessa PA, temos 37 termos. 
Interpolação Aritmética. 
Interpolar x meios aritméticos entre dois termos, significa descobrir esses mesmos termos de tal forma, que toda a seqüência seja uma PA. 
Exemplo: Interpolar 5 meios aritméticos, entre -5 e 37. 
Resolução: 
-5a1 ___ ___ ___ ___ ___ 37a7, veja que: 
an=37 
n = 7 
a1=-5 
r = ? 
Fórmula Geral = an=a1+n-1r, substituindo a fórmula, temos: 
37 = -5 + (7-1) r 
37 = -5 + 7r – r 
37 = -5 + 6r 
37 + 5 = 6r 
42 = 6r → r = 426 → r = 7, logo, os números são: 
(-5, 2, 9, 16, 23, 30, 37). 
Propriedade. 
Numa PA, o termo médio é a média aritmética dos termos eqüidistantes. 
Exemplo: (a1,a2,a3,a4,a5). a3=a1+a52 ou a3=a2+a42 ou a4=a3+a52. 
Representações Convenientes. 
Em alguns exercícios, é interessante reescrever a PA de outra forma. 
Exemplo: 
PA de três termos: (a-r), a, (a+r). qual a vantagem disso? Se tiver de somar os três termos, corta (a-r) com (a+r) e sobra apenas o a. 
PA de cincos termos: (a-2r), (a-r), a, (a+r), (a+2r). Vantagem novamente, se tiver de somar os cincos termos, corta (a-2r) com (a+2r), corta (a-r) com (a+r) e sobra a. isso facilita a conta. 
Agora vamos ver isso em prática. 
3 números estão em PA. A soma deles é 21 e o produto 315. Quais são os três números? 
Resolução. 
(a-r) + a + (a+r) = 21. Corta (a-r) com (a+r), fica 3a = 21 → a = 7. Agora veja que o produto é igual a 315. Logo, (a-r) . a . (a+r) = 315. Substituindo o valor de a que vale 7, fica: (7-r) . 7 . (7+r) = 315. Desenvolvendo, temos: (49-7r) . (7+r) → 343 + 49r – 49r - 7r2 = 315. Corta +49r com -49r fica: 343 - 7r2 = 315 → 343 – 315 = 7r2 → 28 = 7r2 → r2=287 →r2=4{r = 2 ou r = -2. Por conta disso, vamos ter duas PAs. Uma onde o a, vale 7 e a razão, vale 2. E outra onde o a, vale 7 e a razão, vale -2. Portanto, os três números são: (5, 7, 9) ou (9, 7, 5). Observe que se você substituir o a por 7 e o r por 2 e depois por -2, vai dar esses números. Observe também que, se você somar 5+7+9 = 21 e se você multiplicar 5.7.9 = 315. 
Determine a quantidade de múltiplos de 13 entre 20 e 1000. Note que, sempre trabalhar com idéias de múltiplos, você está trabalhando implicitamente com idéia de PA. Olhe só: os múltiplos de 13 vão pulando de 13 em 13. Ex. 13, 26, 39... Se fosse múltiplos de 5. Ex. 5, 10, 15, 20... Você percebe que vão pulando de 5 em 5. 
Outra coisa importante, agente tem que achar os múltiplos de 13 entre 20 e 1000. Qual o primeiro múltiplo de 13 que fica dentro desse intervalo. É o 26. 
Resolução. 
r = 13 (razão é 13, porque vai pulando de 13 em 13) 
a1 = 26 (é o primeiro múltiplo de 13 que fica entre 20 e 1000) 
an = 988 (é o último múltiplo de 13 até 1000. Como é que sei disso? Pego 1000 divido por 13. Vai dar 76,9. Ai pego a parte inteira que é 76 e multiplico por 13. Logo, temos 76.13 = 988, que é o último de múltiplo de 13 menor que 1000. 
N = ? (é o número que queremos saber de múltiplos de 13 dentro desse intervalo de 20 e 1000), portanto, temos: Veja a Fórmula: an=a1+(n-1)∙r 
988 = 26 + (n-1).13 
988 = 26 + 13n – 13 
988 = 13 + 13n 
988 – 13 = 13n 
975 = 13n → n = 97513 → n = 75 
Determine a quantidade de múltiplos de 2 ou 3 entre 23 e 1001. 
Resolução. 
Primeiro achar os múltiplos de 2, depois os de 3 e subtrair os múltiplos de 6. 
r = 2 
a1 = 24 
an = 1000 
n = ? 
Usando a fórmula an=a1+(n-1)∙r, temos: 
1000 = 24 + (n-1).2 
1000 = 24 + 2n – 2 
1000 = 22 + 2n 
978 = 2n → n = 9782 → n = 489, portanto, temos 489 múltiplos de 2 
Agora, vamos achar os múltiplos de 3. 
r = 3 
a1 = 24 
ax = 999 (porque ax= 999 e não a 1000? Porque 999 é o último múltiplo de 3 até 1000) 
X = ? 
Usando a fórmula ax=a1+(x-1)∙r, temos: 
999 = 24 + (x-1).3 
999 = 24 + 3x – 3 
999 = 21 + 3x 
978 = 3x → x = 9783 → x = 326, portanto, temos 326 múltiplos 3. 
Vejamos agora os múltiplos de 6 para subtrair. 
r = 6 
a1 = 24 
ay = 996 (porque ay = 996 e não a 1000? Porque 996 e o último múltiplo de 6 até 1000) 
Y = ? 
Usando a fórmula ay=a1+(y-1)∙r, temos: 
996 = 24 + (y-1).6 
996 = 24 + 6y – 6 
996 = 18 + 6y 
978 = 6y → y = 9786 → y = 163, portanto, temos 163 múltiplos de 6 que vai subtrair. 
Logo, temos: 
489 + 326 – 163 = 652 múltiplos de 2 e 3 entre 23 e 1001. 
Soma dos termos de uma PA. 
Exemplo prático: 
Descobrir a soma dos números naturais de 1 até 100. 
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 
Observe que se você pegar o primeiro termo e somar com o último termo, você encontra 1 + 100 = 101. Se pegar o segundo termo e somar com o penúltimo termo, você encontra 2 + 99 = 101. Se pegar o terceiro termo e somar com o antepenúltimo termo, você encontra 3 + 98 = 101. E assim, por diante. Isso significa que você vai ter 50 casais, onde todas as somas desses casais vão ser iguais a 101. Portanto, observe que se você pegar os 50 casais e multiplicar por 101, você obtém o resultado da soma dos números naturais de 1 a 101. Ou podemos escrever da seguinte forma: 
sn = (1+100)∙1002 ou sn = (1+100)2 ∙100, temos também sn = (a1+an)2 ∙n 
Calcule a soma dos 20 primeiros imparem positivos. 
Bem, qual o primeiro impar? a1=1 
Qual o último impar? Não sei! an = ? 
Quantos imparem você está somando? n = 20 
Qual a razão entre os imparem? r = 2 
Resolução. 
Veja a fórmula an=a1+(n-1)∙r, portanto, temos: 
an = 1 + (20-1).2 
an = 1+ 40 – 2 
an = 39 
Observe que 39 é o vigésimo impar. Mas, a pergunta quer saber a soma dos 20 primeiros imparem positivos. Portanto, temos a fórmula da soma sn= (a1+an)2∙n, logo, temos: 
s20=(1+39)2∙20 Fazendo a continha, temos, s20=400.