1) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76
|- Informações do problema: |
| a7=20 a10=32 a20=? |
|- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral: |
| a7=a1+6r a10=a1+9r |
| 20=a1+6r 32=a1+9r |
|- Formamos um sistema de equações e resolvemos: |
|20=a1+6r |
|32=a1+9r |
| Vamos isolar o termo a1na primeira equação |
| |
|a1=20-6r |
| Agora vamos substituir este valor na segunda equação |
| |
|32=20-6r+9r |
|32-20=9r-6r |
|12=3r |
|r=12/3 |
|r=4 |
| Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1. |
| |
|20=a1+6·4 |
|20=a1+24 |
|a1=-24+20 |
|a1= -4 |
| Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedo o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral. |
| |
|a20=a1+19r |
|a20=-4+19·4 |
|a20=-4+19·4 |
|a20=72 |
|Resposta certa letra "C". |
| |
[pic]
2) O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é
(A) 51
(B) 41
(C) 31
(D) 61
(E) 71
|- Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com: |
| a1= (x-2) |
| a2= (x-5) |
| ... |
|- Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta |
|razão simplesmente fazemos: |
| r=a2-a1=(x-5)-(x-2) |
| |
| |
| r=x-5-x+2 |
|Menos com menos dá mais, por isso temos +2 |
| |
| r=-5+2 |
|X com -X se anulam |
| |
| r=-3 |
|Esta é a razão |
| |
|- Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último |
|termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, "n"). Para calcularmos vamos aplicar |
|a fórmula do termo geral no último termo: |
|an=a1+(n-1)r Substituindo por seus valores |
|(x-47)=(x-2)+(n-1)·(-3) |
|x-47-x+2= -3n+3 |
|-45-3= -3n |
|-3n=-48 |
|n=48/3 |
|n=16 |
|- Agora sim podemos usar a fórmula da soma: |
|Sn=(a1+an)*n/2 |
|Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2 |
|Sn=(2x-49)*8 |
|Sn=16x-392 |
|- Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado: |
|(x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 |
|16x-392=424 |
|16x=424+392 |
|16x=816 |
|x=816/16 |
|x=51 Resposta certa, letra "A" |
[pic]
3) (PUC-RS) Na seqüencia definida por [pic], a soma dos 10 primeiros termos é igual a
(A) [pic]
(B) [pic]
(C) 53
(D) 265
(E) 53
|- O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1e|
|a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício: |
|[pic] |
|[pic] |
| |
|- Agora é só aplicar a fórmula da soma: |
| |
|Resposta certa, letra "B". |
[pic]
4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede
(A) [pic]
(B) [pic]
(C) [pic]
(D) [pic]
(E) [pic]
|- Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais adiante. Mas |
|vamos chamar o lado do triângulo de "L", a fórmula da altura de um triângulo equilátero é [pic] e a área de um triângulo |
|equilátero é[pic]. Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA: |
|[pic] |
|- O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de |
|uma PA: |
| |
|Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência. |
|Agora é só calcular as raízes, no caso são [pic] e [pic]. Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a |
|segunda resposta. |
|O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h): |
| |
|Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo: |
|[pic] |
|Resposta certa, letra "C". |
[pic]
5) (UFRGS) A PA [pic] tem razão [pic]. A razão da progressão definida por [pic] é
(A) [pic]
(B) [pic]
(C) [pic]
(D) [pic]
(E) [pic]
|- Para calcularmos a razão da segunda PA devemos saber no mínimo dois termos em sequência desta PA. Vamos então calcular o |
|primeiro e o segundo. |
|bn=a5n então |
|b1=a5·1 |
|b1=a5 |
| |
| |
|bn=a5n então |
|b2=a5·2 |
|b2=a10 |
| |
| |
| |
|Agora que já sabemos que b1=a5 e b2=a10 vamos ver quanto vale a5 e a10 : |
|a5=a1+(5-1)r |
|a5=a1+4r então |
|b1=a1+4r |
| |
| |
|a10=a1+(10-1)r |
|a10=a1+9r então |
|b2=a1+9r |
| |
| |
| |
|Para calcularmos a razão da PA "b" (vamos chamar de R maiúsculo) é só calcularmos b2-b1 : |
|b2-b1=a1+9r-(a1+4r) |
|b2-b1=5r |
|R=5r Resposta certa, letra "C". |
[pic]
6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
|- Informações: |
| r=9 a1=4 an=58 n=? |
|- Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral: |
| an=a1+(n-1)r |
| 58=4+(n-1)9 |
| 58-4=9n-9 |
| 54+9=9n |
| 63=9n |
| n=63/9 |
| n=7 Resposta certa, letra "E". |
[pic]
7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a
(A) 400
(B) 410
(C) 670
(D) 780
(E) 800
|- Podemos olhar para os números naturais como uma PA com a1=0 e r=1. |
|{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} |
|- Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a40. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos |
|calcular! |
| a40=a1+(40-1)·r |
| a40=0+(39)·1 |
| a40=0+39 |
| a40=39 |
|- Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma. |
| S40=(0+39)·40/2 |
| S40=39·20 |
| S40=780 Resposta certa, letra "D". |
[pic]
8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a
(A) 5100
(B) 5200
(C) 5300
(D) 5400
(E) 5500
|- Informações: |
| S11=35200 r=400 |
|- Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de an em função de a1 e r. |
|Calma lá, veja só: |
| an=a1+(n-1)r |
| a11=a1+(11-1)r |
| a11=a1+10r sabemos que a razão é 400 |
| a11=a1+10·400 |
| a11=a1+4000 |
|- Agora sim vamos colocar na fórmula da soma: |
| |
|- Calculamos o valor de a1, agora é só substituir na fórmula de a11 para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o |
|valor do último dia): |
| a11=a1+4000 |
| a11=1200+4000 |
| a11=5200 Resposta certa, letra "B". |
[pic]
9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n2+5n. a razão dessa PA é:
(A) 7
(B) 6
(C) 9
(D) 8
(E) 10
|- Esta questão é clássica! Tem um pega-ratão tenebroso. O problema dá a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA. |
|Vamos substituir valores e achar os dois primeiros termos para calcularmos a razão (que é o que o problema pede). |
|- Se substituirmos o "n" por 1 teremos S1 que equivale dizer "a soma dos 1 primeiros termos", ou seja, o próprio primeiro termo. |
| Sn=3n2+5n |
| S1=3·12+5·1 |
| S1=3+5 |
| a1=8 |
|- Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo "n" por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2: |
| S2=3·22+5·2 |
| S2=3·4+10 |
| S2=12+10 |
| S2=22 |
|- Lembre-se que este é o valor de a1+a2 portanto: |
| a1+a2=22 |
| 8+a2=22 |
| a2=22-8 |
| a2=14 |
|- Para achar o valor da razão, fazemos a2-a1: |
| r=a2-a1 |
| r=14-8 |
| r=6 Resposta certa, letra "B". |
[pic]
10) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é
(A) 200pq
(B) 200(p + q)
(C) 500(p + q)
(D) 5050(p + q)
(E) 5050pq
|- Sabemos que os múltiplos de um número "n" seguem conforme uma PA de razão r=n e a1=n. Exemplo, os múltiplos de 5: |
|{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...} |
|- Então para os múltiplos de "p" temos uma PA com r=p e a1=p. O problema diz que "A" é a soma dos 100 primeiro múltiplos de "p". |
|Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a100, vamos calculá-lo aplicando a|
|fórmula do termo geral: |
| a100=a1+(100-1)r |
| a100=p+99·p |
| a100=100p |
|- Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de "A". |
| S100=(a1+a100)·100/2 |
| S100=(p+100p)·50 |
| S100=(101p)·50 |
| p=5050p |
|- Com este mesmo raciocínio vamos calcular "B". |
| a100=100q |
| S100=(q+100q)·50 |
| S100=(101q)·50 |
| S100=5050q |
|- Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos: |
|5050(p+q) resposta certa, letra "D". |
[pic]
11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
(A) 3a-2
(B) 3a-1
(C) 3a
(D) 3a+1
(E) 3a+2
|- Informações: |
| a1=-a an=20a r=7 |
|- Vamos utilizar a fórmula do termo geral: |
|[pic] |
|Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem |
|ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades: |
|3a+1-2 |
|3a-1 Resposta certa letra "B". |
[pic]
|GABARITO |
|01-C |04-C |07-D |10-D |
|02-A |05-C |08-B |11-B |
|03-B |06-E |09-B | |
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