APOSTILA 4

 Progressão Aritmética-01

01.Definição
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma: 4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2 Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2. Podemos, então, dizer que: Progressão aritmética é a seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante chamada razão.

03.Classificação
Quanto a razão:  (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5. Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente.  (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 Toda PA de razão negativa ( r < 0) é decrescente. (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0 Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária. Quanto ao número de termos:  (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10. Toda PA de n° de termos finito é limitada.  (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2, Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada.



São exemplos de PA:    (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5 (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0

04.Propriedades
P1:Três termos consecutivos

02.Notação
PA( a1, a2, a3, a4, ...., an) Onde: a1= primeiro termo r = razão n = número de termos( se for uma PA finita ) an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) a1 = 5 r = 4 n = 6 an = a6 = 25

Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. Exemplo: Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:

4  12 8  16 20  28  8,  12,...,  24 2 2 2

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1

TD MATEMÁTICA: PROF. ANANIAS RIBEIRO seja a PA ( a1, a2, a3 ) temos que: a2 

CURSO PARÂMETRO Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31). 7 e 27 11 e 23 3 e 31 15 e 19 são os termos eqüidistantes dosextremos

a1  a3 2

Exemplo1: Determine x para que a sequencia ( 3, x+3, 15) seja uma PA X+3 = ( 3 + 15) / 2 => x+3 =9 => x= 6 ( 3, 6+3 , 15) => (3, 9 , 15) exemplo2: Determinar x para que a seqüência (3+x,5x,2x+11) seja PA resolvendo essa equação (3  x)  (2 x  11)

5x 

obtém-se x=2

2

P2: Termo Médio Numa PA qualquer de número ímpar de termos, o termo do meio(médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último termo. Exemplo: Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último.

05. Termo Geral
Uma PA de razão r pode ser escrita assim: PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 an) Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma: PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an) +r +r +r +r PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r )

3  21  12 2

* Representação genérica de uma PA de três termos Para a resolução de certos problemas (envolvendo soma ou produto dos termos da PA). É de grande utilidade representar uma PA nas seguintes formas: (x, x+r,x+2r) ou (x-r ,x, x+r) onde “r” e a razão da PA. Exemplo: Determinar a PA crescente de três termos,sabendo que a soma desses termos é 3 e que o produto vale –8 Soma dos termos x-r + x + x+r = 3 => 3x=3 => x = 1 Produto dos termos (1- r).(1).(1+r) = -8 => 1-r2 = - 8 => 1+8 = r2 2 => r = 9 r = +3 ou -3 como a PA é crescente temos que r = 3 resposta (-2,1,4)

+r

Portanto, o termo geral será:

an = a1 + (n-1)r, para n
Exercícios Resolvidos 1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...). Resolução: a1=3 a2=9 (a1, a2, a3, a4,... ) r = a2 - a1 = 9 – 3 = 6

+r +r +r
Então: a4 = a1 + r + r + r => a4 = a1 + 3r =>a4 = 3 + 3.6 => a4 = 3+18 a4 = 21 2. Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e

P3: Termos Eqüidistantes

A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos.
Exemplo:

r = -3. Resolução: a3 = 8 r = -3 (a1, ...,a3, a4, a5, a6, a7, a8,... ) +r +r +r +r +r

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TD MATEMÁTICA: PROF. ANANIAS RIBEIRO Então: a8 = a3 + r + r + r + r + r => a8 = a3 + 5r => a8 = 8 + 5.-3 a8 = 8 – 15 => a8 = - 7 3. Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 18. Resolução: Devemos formar a PA(2, ___, ___, ___, 18), em que: a1 = 2 an = a5 = 18 n=2+3=5 Para interpolarmos os três termos devemos determinar primeiramente a razão da PA. Então: a5 = a1 + r + r + r + r a5 = a1 + 4r 18 = 2 + 4r 16 = 4r r = 16/4 r=4 Logo temos a PA(2, 6, 10, 14, 18)

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Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos escrever:

Exercícios Resolvidos 1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da

05. Soma dos termos de uma P.A. finita
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20). Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe: a1+a10 = 2 + 20 = 22 a3+a8 = 6 + 16 = 22 a5+a6 = 10 + 12 = 22 Note, que a soma dos termos eqüidistantes é constante ( sempre 22 ) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invés de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S10 = 110 ( soma dos 10 termos ). E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), Como faríamos? Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai se repetir 50 vezes(metade de 100), portanto S100 = 101x50 = 5050. a2+a9 = 4 + 18 = 22 a4+a7 =8 + 14 = 22

PA(2, 6, 10,...). Resolução: a1 = 2 r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4 Para podemos achar a soma devemos determinar o an(ou seja, a50): a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198 Aplicando a fórmula temos: S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 200.25=5000 2. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora; 17

km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas? Resolução: PA(20, 17,14,...) a1 = 20 r = a2 – a1 = 17 - 20 = -3 Para podemos achar quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas devemos somas os 5 primeiros termos da PA e para isto precisamos do an(ou seja, a5): a5 = a1 + 4r = 20 + 4.-3 = 20 - 12 = 8 Aplicando a fórmula temos: S50 = (a1+an).n/2 = (20+8).5/2 = 14.5 = 70 Logo ele percorreu em 5 horas 70 km.

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06. Exercícios
1. (Fuvest) Seja A o conjunto dos 1993 primeiros números inteiros estritamente positivos. a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A? b) Quantos números de A não são múltiplos inteiros nem de 3 nem de 5? 2. (Fuvest-gv) Os números 1, 3, 6, 10, 15,... são chamados de números triangulares, nomenclatura esta justificada pela seqüência de triângulos.

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a) Determinar uma expressão algébrica para o n-ésimo número triangular; b) Provar que o quadrado de todo número inteiro maior que 1 é a soma de dois números triangulares consecutivos. 3. (Cesgranrio) Em uma progressão aritmética, o termo de ordem n é aŠ, aˆ-a‡= 3e a‡+aˆ =-1. Nessa progressão, a… vale: a) 26. b) -22. c) 22. d) -13. e) 13. 4. (Fatec) Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de modo que a seqüência (18, a‚, aƒ, a„, a…, a†, 96) seja uma progressão aritmética, tem-se aƒ igual a: a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47

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TD MATEMÁTICA: PROF. ANANIAS RIBEIRO 5. (Fei) Os termos da seqüência 1, 3, 6, 10, ... são definidos por: a=1 e aŠ=n+aŠ÷ para qualquer n>1. A diferença aƒ³-a‚ˆ vale: a) 2 b) 5 c) 30 d) 58 e) 59 6. (Fuvest) Os números inteiros positivos são dispostos em "quadrados" da seguinte maneira: 1 2 3 10 11 12 19 __ __ 4 5 6 13 14 15 __ __ __ 7 8 9 16 17 18 __ __ __ O número 500 se encontra em um desses "quadrados". A "linha" e a "coluna" em que o número 500 se encontra são, respectivamente: a) 2 e 2. b) 3 e 3. c) 2 e 3. d) 3 e 2. e) 3 e 1. 7. (Fuvest) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, Ë(11-a). O quarto termo desta P.A. é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8. (Mackenzie) Numa seqüência aritmética de 17 termos, sabe-se que A…=3 e Aƒ=7. Então a soma de todos os termos é: a) 102 b) 85 c) 68 d) 78 e) 90

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9. (Puccamp) Um veículo parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, distante 500 km. Na 1• hora do trajeto ele percorre 20 km, na 2• hora 22,5 km, na 3• hora 25 km e assim sucessivamente. Ao completar a 12• hora do percurso, a que distância esse veículo estará de B? a) 95 km b) 115 km c) 125 km d) 135 km e) 155 km 10. (Pucmg) Na seqüência (1/2, 5/6, 7/6, 3/2,...), o termo de ordem 30 é: a) 29/2 b) 61/6 c) 21/2 d) 65/6 e) 67/6 11. (Pucsp) Seja f a função de Z em Z definida por f(x) é igual a ý2x - 1 se x é par þ ÿ0 se x é impar Nessas condições, a soma f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(999) + f(1000) é igual a a) 50 150 b) 100 500 c) 250 500 d) 500 500 e) 1 005 000 12. (Uece) Seja (a, a‚, aƒ, a„, a…, a†) uma progressão aritmética. Se a + a‚ + aƒ + a„ + a… + a† = 126 e a† - a• = 20, então a• é igual a: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

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TD MATEMÁTICA: PROF. ANANIAS RIBEIRO 13. (Uel) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo termo central é a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e) 57 14. (Uel) Numa progressão aritmética de primeiro termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros termos é 20/3. O valor de n é a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 15. (Ufsc) Assinale a ÚNICA proposição CORRETA. A soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre 1 e 1995, é a) 198.000 b) 19.950 c) 199.000 d) 1.991.010 e) 19.900 16. (Unaerp) A soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 primeiros é 258, então, o 1¡. termo e a razão são respectivamente: a) 3 e 5. b) 5 e 3. c) 3 e - 5. d) - 5 e 3. e) 6 e 5.

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TD MATEMÁTICA: PROF. ANANIAS RIBEIRO 17. (Unesp) Um estacionamento cobra R$ 1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$ 1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0,40, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário? a) R$ 4,58 b) R$ 5,41 c) R$ 5,14 d) R$ 4,85 e) R$ 5,34 18. (Unitau) Seja f(n) uma função, definida para todo inteiro n, tal que f(0) = 0 e f(n + 1) = f(n) + 1. Então o valor de f(200)é: a) 200. b) 201. c) 101. d) 202. e) 301. 19. (Unitau) Um triângulo retângulo tem seus lados c, b, e a em uma progressão aritmética crescente, então podemos dizer que sua razão r é igual a: a) 2c. b) c/3. c) a/4. d) b. e) a - 2b. 20. (Mackenzie) As medidas dos ângulos assinalados na figura a seguir formam uma progressão aritmética. Então, necessariamente, um deles sempre mede:

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Gabarito 1. a) 132 b) 1063 2. a) aŠ =[(1+n).n]/2 b) Sendo aŠ÷ e aŠ (n>1) dois termos consecutivos da seqüência (aŠ) dos números triangulares, temos: aŠ÷+aŠ=[(1+n-1).(n-1)]/2+[(1+n).n]/2= = (n£-n+n+n£)/2=2n£/2=n£

a) 108° b) 104° c) 100° d) 86° e) 72°

01 * 06 A 11 D 16 B

02 ** 07 B 12 B 17 C

03 C 08 B 13 C 18 A

04 B 09 A 14 A 19 B

05 E 10 B 15 C 20 A